Dos triángulos son semejantes si cumplen unas condiciones.
A saber las condiciones son:
- Que todos los ángulos son iguales
- Que la relación entre sus lados homólogos es la misma.
Si se cumple una de las dos, la otra también se cumplirá. Un lado es el homólogo de otro lado si está entre dos ángulos iguales al del lado del otro triángulo. Así pues podemos hacer la siguiente afirmación, como los ángulos de un triángulo suman 180º, si dos de los lados son iguales, el tercero tamién lo será y por lo tanto serán semejantes.
En la siguiente imagen puedes ver como al disminuir los lados en la misma proporción los ángulos se mantienen. El ángulo B siempre es el mismo Por lo tanto sólo nos quedan A y C para obtener. Pero el segmento A-C es mueve paralelo a un segmento de referencia. Como veremos en otra entrada, dos rectas paralelas tienen un mismo vector director y por lo tanto forman un mismo ángulo respecto de otra recta con vector director diferente. Por lo tanto A y C son los mismos para todos los triángulos que se muevan paralelos a un segmento referencia:
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Ahora, para los que no lo sepan, la semejanza de triángulos es muy útil para escalar imágenes, pero no sólo para escalar imágenes (hacerlas más pequeñas o más grandes) sino para calcular los datos que nos faltan para calcular el área. Por ejemplo, vamos a ver los teoremas del cateto y de la altura. Éstos teoremas sólo pueden usarse en triángulos rectángulos. Primero el de la altura:
Lo que dice el teorema de la altura es que si dividimos la hipotenusa (el lado más largo de un triángulo rectángulo) en dos partes desde la vertical del ángulo opuesto, multiplicar los dos segmentos resultantes es igual al cuadrado de la altura:
El por qué es debido a que hay semejanza de triángulos. El triángulo completo es semejante a los otros dos. Si recuerdas, la relación de los lados homólogos de dos triángulos semejantes es la misma, esto significa:
Aunque es difícil de ver, los triángulos rectángulos del ejemplo del teorema son semejantes:
Como el ángulo A no se mueve en el triángulo 1, lo único que necesitamos es encontrar un ángulo más que sea igual al de los otros triángulos. Sabemos que la altura forma 90º con el lado opuesto y C=90º porque es un triángulo rectángulo. Por lo tanto tenemos dos ángulos iguales, ¡así que hay semejanza! Lo mismo ocurre para el triángulo 2. Si hacemos la relación de lados nos queda:
Obteniendo el teorema de la altura. Para el teorema del cateto queremos saber uno de los lados en lugar de la altura. Para ello haremos lo mismo que en el teorema de la altura empleando semejanza de triángulos pero con uno de los lados:
Y ya estaría, podríamos obtener la altura ó uno de los lados, dependiendo de lo que queramos saber. Espero que esta entrada te haya sido de utilidad y que pronto estés trabajando con todo lo que vamos aprendiendo. ¡Nos vemos en la próxima!